Funciones de variable real

Se define una función real de variable real, o simplemente función real, como aquella función matemática que hace corresponder a cada número real x∈R otro número real y∈R a través de una regla de transformación f(x). Formalmente:

f:Domfx→↦Ry=f(x)

Donde:

Es la función de ℝ en ℝ, es decir, una regla de correspondencia que asigna a cada valor ℝ del dominio otro número real

Domf

Es el dominio de definición de la función f, también llamado campo de existencia. Esto es, el conjunto de posibles valores que puede tomar la entrada de la función, es decir, que tienen imagen. Puede ser, o bien el conjunto completo de los reales ( ℝ ), o bien un subconjunto de este: Domf⊆R. Más formalmente: Domf={ x∈R / ∃y=f(x)∈R }

ℝ

Es el condominio de la función, es decir, el conjunto de posibles valores que podría tomar la variable dependiente

Es la variable independiente. En este caso, un número real que hace las veces de entrada de la función

f(x) : Es la variable dependiente, imagen de x. Es un número real que hace las veces de salida. Para obtener su valor se aplica la función sobre el elemento x

Representación grafica de funciones

Para representar gráficamente una función, utilizamos el sistema de ejes cartesianos en los cuales figuran los valores de las 2 variables: la variable independiente x $x$ en el eje de abscisas, y la variable dependiente y $y$ en el eje de ordenadas.

Las representaciones gráficas pueden ser de variable entera, variable racional o variable real, según los conjuntos numéricos con los cuáles trabaje cada función.

El procedimiento a seguir para representar gráficamente una función cuando dispongamos de su expresión algebraica es:

Dada la función $y = f (x)$ y=f(x), creamos una tabla de valores con distintos puntos (x,y)=(x,f(x)) $(x, y) = (x, f (x))$
Representamos los puntos obtenidos en unos ejes de coordenadas.
Unimos los puntos representados trazando así la gráfica de la función.

Rectas horizontales y verticales

Ecuaciones de rectas horizontales y verticales solamente tienen una variable . La ecuación x = 4 representa una recta vertical que cruza el eje de las x en el punto (4, 0). Cada pareja ordenada con 4 como su primera coordenada es una solución . (La ecuación significa “ x es igual a 4, y y puede ser lo que quiera.”)

Similarmente, la ecuación

y = –3

es una recta horizontal que cruza al eje de las y en (0, - 3).

El punto donde las rectas horizontal y vertical se intersecan también es fácil de encontrar.

Función Inyectiva

Sea $f : A \longrightarrow B$ una función, decimos que esta es una función inyectiva si esta establece una relación uno a uno entre los elementos de $A$ y de $B$ , es decir que cada elemento de $Dom(f)$ está correspondido con único elemento de $Rgo(f)$ y cada elemento de $Rgo(f)$ está correspondido con un único elemento de $Dom(f)$ . Formalmente, decimos que la función $f$ es inyectiva si para todo $a,b \in A$ se cumple lo siguiente:

$a \neq b \Longrightarrow f(a) \neq f(b)$

o su contrarrecíproco que es es equivalente a:

$f(a) = f(b) \Longrightarrow a = b$

Podemos identificar gráficamente una función inyectiva porque cualquier recta horizontal que tracemos en el plano cartesiano, cortará a la función $f$ en un único punto. Es por esto que este tipo de ecuaciones también se conocen como Funciones 1-1 o Funciones 1 a 1. Veamos algunos ejemplos de funciones inyectivas para entender con más claridad este concepto.

Ejemplo 1

Si consideramos la función $f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ definida como $f(x)=x^2$ ,

Ella es inyectiva pues podemos notar que cualquier recta horizontal corta a la función en exactamente un sólo punto.

Ejemplo 2

Si consideramos la función $f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ definida como $f(x)=x^2$ ,

Ella no es inyectiva. Ya que al trazar una recta horizontal por el punto $(0,4)$ , notamos que esta corta a la función en dos puntos. Básicamente lo que estamos notando es que el punto 4 tiene dos preimágenes: 2 y -2.

Ejemplo 3

Si consideramos la función $f : [0,+\infty] \longrightarrow \mathbb{R}$ definida como $f(x)=x^2$ ,

Ella es inyectiva pues podemos notar que cualquier recta horizontal corta a la función en exactamente un sólo punto.

Con este último ejemplo, notamos que al restringir el dominio de la función cuadrática ésta sí cumplió con las condiciones para ser inyectiva. Podemos concluir con toda confianza, que el hecho de que una función sea inyectiva o no, depende enteramente de la forma en que esté definido su dominio.

Función Sobreyectiva

Sea $f : A \longrightarrow B$ una función, entonces $f$ es una función sobreyectiva si todo elemento de $B$ tiene una preimagen, es decir que $Rgo(f)=B$ . Formalmente, $f$ es sobreyectiva si:

$Para \ todo \ b \in B, \ existe \ a \in A \ tal \ que \ f(a)=b$

Identificamos gráficamente el rango de una función trazando rectas horizontales, diremos que un punto del Eje Y está en el rango de la función si la recta horizontal que pasa por dicho punto, corta a la función.

Veamos algunos ejemplos de funciones inyectivas para entender con más claridad este concepto.

Ejemplo 4

Si consideramos la función $f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ definida como $f(x)=x^3$ ,

Ella será inyectiva pues $Rgo(f) = \mathbb{R}$ .

Ejemplo 5

Si consideramos la función $f : [0,+\infty] \longrightarrow \mathbb{R}$ definida como $f(x)=\sqrt{x}$ ,

Ella no será sobreyectiva, ya que $Rgo(f) = [0,+\infty] \neq \mathbb{R}$ .

Ejemplo 6

Si consideramos la función $f : [0,+\infty] \longrightarrow [0,+\infty]$ definida como $f(x)=\sqrt{x}$ ,

Ella sí será inyectiva pues $Rgo(f) = [0,+\infty]$ .

Con este último ejemplo, notamos que al restringir el conjunto de llegada de la función raíz cuadrada ésta sí cumplió con las condiciones para ser sobreyectiva. Podemos concluir con toda confianza, que el hecho de que una función sea sobreyectiva o no, depende enteramente de la forma en que esté definido su rango.

Función Biyectiva

Diremos que la función $f : A \longrightarrow B$ es biyectiva si esta es inyectiva y sobreyectiva al mismo tiempo.

Por ejemplo, si consideramos la función $f: (0,+\infty) \longrightarrow \mathbb{R}$ definida como $f(x) = \ln(x)$ ,

Ella es inyectiva pues podemos notar que cualquier recta horizontal corta a la función en exactamente un sólo punto y además es sobreyectiva ya que $Rgo(f) = \mathbb{R}$ , por lo tanto, es biyectiva

Función par

Una función

es par si

Definiciones de función par y de función impar. Con ejemplos, gráficas y problemas resueltos. Simetría. Matemáticas. Funciones. Paridad.

Las gráficas de las funciones pares presentan simetría respecto al eje de ordenadas.

Ejemplo

La siguiente función es par:

2. Función impar

Una función

es impar si

Las gráficas de las funciones impares presentan simetría rotacional con respecto al origen. Es decir, la gráfica no cambia si se rota 180°.

Ejemplo

Función constante

Una función de la forma f(x) = b, donde b es una constante, se conoce como una función constante.

Por ejemplo, f(x) = 3, (que corresponde al valor de y) donde el dominio es el conjunto de los números reales y el recorrido es {3}, por tanto y = 3. La gráfica de abajo muestra que es una recta horizontal.

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Función lineal

Una función de la forma f(x) = mx + b se conoce como una función lineal, donde m representa la pendiente y b representa el intercepto en y. La representación gráfica de una función lineal es una recta. Las funciones lineales son funciones polinómicas.

Ejemplo:

F(x) = 2x - 1

Es una función lineal con pendiente m = 2 e intercepto en y en (0, -1). Su gráfica es una recta ascendente.

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Para trazar la gráfica de una función lineal solo es necesario conocer dos de sus puntos.

La ecuación matemática que representa a esta función, como ya vimos, es f(x) = ax + b, donde f(x) corresponde al valor de y, entonces

y = ax + b

Donde "a" es la pendiente de la recta, y "b" es la ordenada al origen.

La pendiente indica la inclinación de la recta, cuanto sube o baja y cuanto avanza o retrocede. Esto depende del signo que tenga.

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El valor de "a" siempre es una fracción (si no tiene nada abajo, es porque tiene un 1), donde el numerador (p) me indica cuanto sube o baja, y el denominador (q) indica cuanto avanzo o retrocedo.

Aprendido esto, y según el signo de la fracción, la pendiente se marca de la siguiente forma:

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La ordenada al origen (b) es el valor donde la recta corta al eje y.

La recta siempre va a pasar por el punto (0; b)

Representación gráfica de una función lineal o función afín

Para graficar una recta, alcanza con los datos que da la ecuación matemática de la función, y se opera de la siguiente manera:

1. Se marca sobre el eje y la ordenada al origen, el punto por donde la recta va a cortar dicho eje.
2. Desde ese punto, subo o bajo según sea el valor de "p" y avanzo o retrocedo según indique el valor de "q". En ese nuevo lugar, marco el segundo punto de la recta.
3. Se podría seguir marcando puntos con la misma pendiente, pero con 2 de ellos ya es suficiente como para poder graficar la recta.
4. Teniendo ya los dos puntos, con regla se traza la recta que pasa por los mismos.

Ejemplo:

Graficar la siguiente función:

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La ordenada al origen (3) me indica que me debo parar sobre el eje y en el 3.

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También podemos graficar una función dando valores a x y obteniendo dos puntos en las coordenadas.

Ejemplo:

Graficar la función dada por f(x) = 2x – 1

Solución

Como la función es lineal se buscan dos puntos de la recta; para ello, se le dan valores a x y se encuentran sus imágenes respectivas, esto es:

Si x = 0, se tiene que f (0) = 2(0) – 1 = - 1

Si x = 2, se tiene que f (2) = 2(2) – 1 = 3

Así, los puntos obtenidos son (0, -1) y (2, 3), por los cuales se traza la gráfica correspondiente.

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Función polinómica

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El dominio de todas estas funciones polinómicas es el conjunto de los números reales (porque el elemento x puede ser cualquier número real).

Función cuadrática

Una función de la forma f(x) = ax2 + bx + c, donde a, b y c son constantes y a es diferente de cero, se conoce como una función cuadrática.

La representación gráfica de una función cuadrática es una parábola. Una parábola abre hacia arriba si a > 0 y abre hacia abajo si a < 0. El vértice de una parábola se determina por la fórmula:

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Las funciones cuadráticas son funciones polinómicas.

Ejemplo:

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F(x) = x2 representa una parábola que abre hacia arriba con vértice en (0,0).

Función racional

Una función racional es el cociente de dos funciones polinómicas. Así es que q es una función racional si para todo x en el dominio, se tiene:

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Nota: El dominio de una función polinómica son los números reales; sin embargo, el dominio de una función racional consiste de todos los números reales excepto los ceros del polinomio en el denominador (ya que la división por cero no está definida).

Función de potencia

Una función de potencia es toda función de la forma f(x) = xr, donde r es cualquier número real.

Las funciones f(x) = x4/3 y h(x) = 5x3/2 son funciones de potencia.

Ejercicios y ejemplos con funciones en general:

Expresar mediante una fórmula la función que asocia a cada número:

a) Su cuádruplo.

La función es: f (x) = 4x.

b) Un número 2 unidades mayor.

La función es: f (x) = x + 2.

c) Su mitad menos 1.

La función es: f (x) = x/2 - 1.

d) El cuadrado del número que es una unidad menor.

La función es: f (x) = (x - 1)2

Veamos algunos otros ejemplos de funciones:

1) El volumen de un gas está determinado por la presión (a temperatura constante), esta relación viene dada por la ley de Boyle-Mariotte:

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Donde v representa el volumen del gas en litros, p es la presión en atmósferas y c es una constante de proporcionalidad.

Se observa que al variar la presión a la que está sometido el gas varía el volumen; es decir, los valores del volumen dependen de los valores de la presión del gas y para cada valor de la presión existe un único valor del volumen.

2) El área A del círculo depende de la longitud de su radio r y está dada por la fórmula:

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Si se conoce el valor del radio se puede conocer el valor del área del círculo.

3) Dada la función f(x) = 5x2 + 2

Encontrar el valor de la función para cuando x = 2.

Para calcular la imagen de un elemento bajo la función f, se reemplaza dicho elemento en el lugar de la variable, así para x = 2

F (2) = 5(2)2 + 2

F (2) = 22

Por lo tanto cuando x = 2, se tiene que f (2) = 22.

Operación con funciones

Hasta ahora hemos estudiado las funciones elementales y las transformaciones que podemos hacer sobre ellas, a continuación veremos que es posible definir nuevas funciones a partir de ellas haciendo las operaciones básicas de suma, resta, multiplicación y división entre funciones elementales.

Consideremos dos funciones $f : A \longrightarrow B$ y $g : C \longrightarrow D$ . Entonces, podemos definir la suma, resta, multiplicación o división entre estas dos funciones como una nueva función cuyas imágenes son el resultado de la suma, resta, multiplicación o división entre las imágenes correspondientes, respectivamente. Lo interesante de este tipo de operaciones es que el dominio la nueva función se verá restringido.

Ejemplo 1

Sean $f(x)=x^2$ y $g(x)=5x$ definidas en su dominio más grande. Determine el dominio de la función

$\big( f + g \big)(x) = x^2 + 5x$

Considerando que $Dom(f) = \mathbb{R}$ y que $Dom(g) = \mathbb{R}$ , entonces concluimos que

$Dom(f + g) = \mathbb{R} \cap \mathbb{R} = \mathbb{R}$

Ejemplo 2

Sean $f(x)=\sqrt{x}$ y $g(x)=7x+1$ definidas en su dominio más grande. Determine el dominio de la función

$\big( f - g \big)(x) = \sqrt{x} - (7x+1)$

Considerando que $Dom(f) = [0,+\infty)$ y que $Dom(g) = \mathbb{R}$ , entonces concluimos que

$Dom(f - g) = [0,+\infty) \cap \mathbb{R} = [0,+\infty)$

Dada una función $f : R \to R$ y un punto $x_{0} \in R$ , el límite de $f$ cuando $x$ tiende a $x_{0}$ se representa como

En un principio, este límite es el valor que toma $f$ en el punto $x_{0}$ , es decir, $f (x_{0})$ . Si $f (x_{0})$ no existe (por ejemplo, cuando $x_{0}$ anula el denominador de $f$ ), entonces el límite es el valor al que $f$ se aproxima cuando $x$ se aproxima a $x_{0}$ .

Por ejemplo, sea la función

No existe $f (0)$ , pero cuanto más se aproxima $x$ a $0$ , la función crece más y más, como podemos observar en la gráfica:

Por tanto, el límite de $f$ cuando $x$ tiende a $0$ es infinito:

También, podemos predecir el comportamiento de la función cuando $x$ crece o decrece indefinidamente (cuando $x$ tiende a $\pm \infty$ ). Cuando esto ocurre, la función $f (x) = 1 / x^{2}$ se aproxima cada vez más a $0$ :

Propiedades de los limites

Operación con infinitos e indeterminaciones

Derivadas

Derivada de una función en un punto

Dada una función f (x), y considerado un punto a de su dominio, se llama derivada de la función en ese punto, denotada como f ¿ (a), al siguiente límite:

Este límite también puede expresarse de las dos formas alternativas siguientes:

Apoyo gráfico para la definición de derivada en un punto.

Interpretación geométrica de la derivada

La definición de derivada tiene mucho que ver con el concepto de variación instantánea. Teniendo en cuenta que el cociente:

expresa la pendiente de la recta que pasa por (a, f (a)) y (b, f(b)), es lógico pensar que si b y a están muy próximos entre sí, separados por un valor h que tiende a cero, esta recta se aproximará a la recta tangente a la función en el punto x = a.

Tal es la interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto: coincide con la pendiente de la recta tangente a la función en dicho punto.

La derivada de una función en un punto coincide con la pendiente de la recta tangente a la función en dicho punto.

Derivadas laterales

Como sucedía con los límites, se pueden definir los conceptos de derivadas laterales de una función en un punto.

Dada una función f (x) y considerado un punto a de su dominio de definición, se define su derivada por la derecha, y se denota como f ¿ (a+), al límite siguiente:

Por su parte, la derivada por la izquierda de f (x) en el punto a, denotada por f ¿ (a-), se define como el siguiente límite:

Una función se dice derivable cuando tiene derivadas por la derecha y por la izquierda, y sus valores coinciden.

Derivación de una función implícita

La derivación de una función expresada en la forma explícita y 5 f (x) es sencilla si se conocen las reglas de derivación. En cambio, esta tarea se complica cuando la función que ha de derivarse está implícita en una expresión (por ejemplo: y3 + xy ++ 2x = 5, donde se ha de derivar y).

Para obtener esta derivada, lo primero que hay que hacer es despejar y. A veces, esta operación resulta complicada, por lo que resulta preferible aplicar el procedimiento siguiente:

Derivar los dos miembros de la ecuación implícita.
Despejar y¿ en la ecuación resultante.Tal valor será el resultado de la derivada de la función implícita.

Tabla de derivadas

A partir de las fórmulas de las derivadas de las funciones potenciales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas y de la aplicación de las propiedades de derivación, es posible obtener fácilmente la derivada de cualquier función explícita. En la tabla adjunta se resumen las reglas generales de derivación.

Tabla de derivadas de funciones comunes:

A partir de ellas y aplicando las propiedades y reglas de derivación, puede obtenerse la derivada de cualquier función de estructura más compleja:

Regla de la cadena

Cómo obtener máximos, mínimos y puntos de inflexión con derivadas

Los extremos relativos (máximos, mínimos y puntos de inflexión), pueden ser los puntos que hagan que la derivada primera de la función sea igual a cero:

Estos puntos serán los candidatos a ser un máximo, un mínimo un punto de inflexión, pero para ello, deben cumplir una segunda condición, que es la que te indico en el apartado siguiente.

Cómo saber si un punto es un máximo, un mínimo o un punto de inflexión

Una vez que hemos obtenido los puntos para los cuales, la derivada primera de la función es igual a cero, para cada punto debemos comprobar lo siguiente:

Si el valor de la derivada segunda en ese punto es mayor que cero, entonces ese punto es mínimo:

Si el valor de la derivada segunda en ese punto es menor que cero, entonces ese punto es máximo:

Si la derivada segunda en ese punto es igual a cero, entonces ese punto es un punto de inflexión, siempre y cuando la derivada tercera en ese punto sea distinta de cero:

Vamos a verlo con un ejemplo todo lo explicado hasta ahora.

Ejercicio resuelto sobre cómo calcular los máximos, mínimos y puntos de inflexión

Vamos a obtener los extremos relativos de la siguiente función:

En primer lugar, vamos a obtener los posibles extremos relativos, obteniendo la derivada primera de la función e igualándola a 0.

La derivada primera de la función es:

La igualamos a cero para obtener los puntos que cumplen esa condición:

Para resolver la ecuación, la simplificamos previamente:

Como es una ecuación de tercer grado, la descompongo en factores por la regla de Ruffini:

Cuyas soluciones son:

calcular maximos y minimos

Que corresponden a posibles máximos, mínimos o puntos de inflexión.

Ahora vamos a comprobar a qué corresponde cada punto, estudiando el signo de la derivada segunda. Para ello obtenemos la derivada segunda de la función:

Y calculamos el valor de la derivada segunda para cada uno de los valores que acabamos de calcular y que hacen que la derivada primera sea cero (x=-2, x=-1 y x=1).

Empezamos calculando el valor de la derivada segunda para x=-2:

El resultado es mayor que cero, por tanto en x=-2 hay un mínimo:

Calculamos el valor de f»(x) para x=-1:

El resultado es menor que cero, por lo que en x=-1 hay un máximo

Y por último, calculamos el valor de la derivada segunda para x=1:

Cuyo valor es mayor que cero, por lo que en x=1 hay un mínimo:

Con los valores de x obtenidos a partir de igualar la derivada primera a cero, no hemos tenido ningún valor de f»(x) igual a cero, es decir, no hemos encontrado ningún punto de inflexión.

Por tanto, vamos a calcular los puntos que hace que la derivada segunda sea igual a 0: